Senza contratto scritto e registrato non esiste locazione anche se ti ha versato dei soldi.
Pertanto in questo caso si configura solo una abusiva occupazione; per cui se aspiri a riprenderti casa sei obbligata a rivolgerti al giudice onde averne la sentenza di rilascio per 'occupazione senza titolo'.
Ma questa t'obbliga a patirne una lunga attesa con costi non certo esigui per ottenerla.
Concordo con
@alberto bianchi quando dice che il coltello nel manico tu non ce l'hai.
Ad ogni modo, per tentare di risolvere diversamente il tuo problema - che si sostanzia nel fatto che l'occupante abita in casa tua, non paga l'affitto (salvo, se ho ben capito, solo i due canoni iniziali) e si rifiuta di stipulare almeno il contratto locativo) - ti espongo quello che farei io al tuo posto: mi catapulto all'Ufficio delle Entrate e chiedo, come la legge consente, di registrare il contratto di locazione con l'occupante (la sua firma non serve). Nel modulo (ora è il modello RLI) indico, assieme ai dati personali dell'inquilina') anche la data d'inizio e di fine locazione e delle due mensilità ricevutene a titolo di 'deposito cauzionale' e passo alla cassa a pagare l'imposta di registro (con forse qualche sanzione aggiuntiva per il ritardo nell'adempimento). Dopodiché, ritiratone il documento, fiscalmente regolare a tutti gli effetti, mi metto così in grado di minacciare la conduttrice ( a questo punto è tale ) che se non si mette in regola con tutti i pagamenti dovuti in base al contratto, procedo con lo sfratto per morosità.
E' un'idea: forse vale la pena d'esser presa in considerazione.
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